Adi Diferansiyel Denklemler
Adi Diferansiyel Denklemler
Aşağıdaki gibi bir adet diferansiyel denklem veya denklem sistemimiz olsun.
\[ \begin{equation} \frac{d}{dx}y(x) = F(x,y) \end{equation} \]
- Bu denklemi çözmek demek sağ ve sol tarafın integralini almak demektir.
- Bu denklemi çözmek demek sayısal olarak \(y(x)\) fonksiyonunu bulmak demektir. Yani istenilen bir x değeri için \(y(x)\) fonksiyonunun değerini elde ederiz.
- \(y(x)\) ve \(F(x,y)\) birer vektör olabilir. Örneğin \(\vec{y}(x) = (y_{1}(x), y_{2}(x))\).
- İkinci dereceden diferansiyel denklemleri çözmek için denklemi iki adet birinci dereceden diferansiyel denkleme indirgeme yapmamız gerekmektedir.
\[ \begin{align*} \frac{d^{2}}{dx^{2}}y(x) =& F(x,y)\\ \frac{d}{dx}y(x) =& v(x,y) \qquad \text{ve} \qquad \frac{d}{dx}v(x) = F(x,y) \end{align*} \]
- Çözüme başlamak için fonksiyonun başlangıçtaki değerine ihtiyacınız vardır; Başlangıç Değer Problemi, BDP (IVP)
- Çözümün sınırlarında hangi değerler aldığını bilerek de fonksiyonu elde edebiliriz; Sınır Değer Problemi, SDP (BVP)
Örnek
- Başlangıç değer problemi:
\[ y''(x)= -y, \qquad y(0)=1, \qquad y'(0)=0 \text{.} \]
- Sınır değer problemi:
\[ y''(x)= -y, \qquad y(0)=1, \qquad y'(\pi)=0 \text{.} \]