Dogrusal Denklemler ve Çözümleri

Yazar

Taygun Bulmus

Yayınlanma Tarihi

26 Ağustos 2024

Notasyon

İki bilinmeyenli basit bir denklem alalım.

\[ 4x + 7y =6\\ 2x+3y= 1 \]

Bu denklemi daha da genelleştirelim.

\[ A_{11}~x_{1} + A_{12}~x_{2}= b_{1}\\ A_{21}~x_{1} + A_{22}~x_{2}= b_{2} \]

Burada bilinmeyenler \(x_{1}\) ve \(x_{2}\) elemanlarıdır ve bu vektöre çözüm vektörü. \(A_{ij}\) ise katsayı matrisininin elemanları ve \(b_{i}\) ise sonuç vektörüdür. Bu denklemi matris şeklinde yazabiliriz.

\[ \begin{bmatrix} 4 & 7\\2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 6 \\ 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12}\\A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \end{bmatrix} \] Bu matris denklemini ayrıca aşağıdaki gibi de yazabiliriz.

\[ A \vec{x} = \vec{b} \] Katsayı matrisinin determinantı aşağıdaki gibi gösterilir.

\[ |A| \qquad \text{ veya } \qquad det(A) \] Katsayı matrisinin tersi aşağıdaki gibi gösterilir.

\[ A^{-1} \qquad \text{ veya } \qquad inv(A) \]

Çözüm vektörü ve sonuç vektörleri matris de olabilir.

Çözümün Tekliği ve Durumu

Eğer \(n\) tane denklem ve \(n\) adet bilinmeyen varsa çözüm biricik (unique) olabilir.
Çözümün tek olabilmesi için \(det(A)\ne 0\) şartı sağlanmalıdır.
Çözüm tek ise satır ve sütunlar birbirinin katı veya kombinasyonu olamaz.

Yukarıdaki şartları sağlayan denklemlere doğrusal bağımsız adı verilir.

Örnek

Aşağıdaki denklem doğrusal bağımlıdır. Ayrıca katsayı matrisinin determinantı da 0’a eşittir.

\[ 2x_{1} + x_{2} =3\\ 4x_{1} + 2x_{2} =6 \]

Örnek

Aşağıdaki denklem doğrusal bağımsızdır ve \(|A|\ne 0\) bağıntısına sahiptir.

\[ 4x_{1}+7x_{2}=6\\ 2x_{1}+3x_{2}=1 \] Bir denklem sisteminin katsayı matrisinin determinantı ne kadar 0’dan büyükse, o kadar güzel koşulludur (well-conditioned.) Güzel koşullunun tersi, yani determinantı 0’a yakın olan sistemlere ise kötü koşullu (ill-conditined.) adı verilir.

Örnek

Aşağıdaki iki denklem sistemi, kötü koşulluluğa örnektir.

\[ 2x_{1} + x_{2} = 3\\ 2x_{1} + 1.0001x_{2}=0 \]

Bu sistemde katsayı matrisinin determinantı \(|A|=0.002\). Denklem sisteminin çözümü ise

\[ \begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1501.5\\-3000 \end{bmatrix} \]

Bir başka denklem ele alalım.

\[ 2x_{1} + x_{2} = 3\\ 2x_{1} + 1.0002x_{2}=0 \]

Bu sistemde katsayı matrisinin determinantı \(|A|=0.004\) Denklem sisteminin çözümü ise

\[ \begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 751.5\\-1500 \end{bmatrix} \]

Yukarıdaki örnekte, katsayı matrisinde yapılan binde bir bir değişikliklik, çözüm vektöründe %200 oranında farklılaşmaya sebep oldu.

Doğrusal (Lineer) Sistem Çözümleri

Bizim ilgileneceğimiz doğrusal sistemler kesikli sistemlerdir. Yani \(\int\) yerine \(\sum\) kullanılacakt.r
Denklemler birinci dereceden bilinmeyenler içermelidir.
\(Ax=b\) şeklinde yazıp \(x\)’i bulmak istediğimiz denklem sistemleridir.

Doğrusal Denklem Çözüm Yöntemleri

Doğrusal denklem sistemlerini çözmek için temelde iki yöntem vardır. Birincisi direkt çözüm yöntemleri, ikincisi ise inderekt veya iteratif çözüm yöntemleridir. Bu derste iteratif çözüm yöntemleri incelenmeyecektir.

İteratif Çözüm Metotları: Çözüme yaklaşmak için sürekli işlem yapılması gerekir. Bilgisayar kaynakları açısından ekonomik değildir. Çözümün hangi aralıkta olduğu bilindiğinde kullanılabilir.

Direkt Çözüm Metotları: Analitik çözüm metotları kullanarak sayısal çözüm elde etme metotlarıdır. Bu derste aşağıdaki üç adet direkt çözüm metotlarını inceleyeceğiz.

Gauss eleme (elimination) yöntemi,
LU ayrıştırma (decomposition) yöntemi,
Gauss-Jordan eleme yöntemi

Gauss Eleme Yöntemi

Katsayı matrisinde satır işlemleri yaparak alt veya üst üçgensel kısmı sıfır yapılır ve çözüm bulunur. Bu işlem yaparak denklem çözümüne Gauss Eleme Yöntemi adı verilir.

Katsayı matrislerinin köşegen elemanların altındaki elemanlar 0 yapılırsa üst üçgensel form yapma, köşegen elemanlarının üstündeki elemanlar 0 yapılırsa alt üçgensel form yapma adı verilir.

Matrisi alt/üst üçgensel forma getirdikten sonra ileri/geri yerine koyma metodu ile denklem sisteminin çözümü elde edilir. Gauss eleme metodunu bilgisayarda yapmak için bir algoritma haline getirmek gerekmektedir. Bu işlemin sistematik hali aşağıdaki gibidir.

\[ \text{Eq}(i) - ~\lambda~ \text{Eq}(j) \rightarrow \text{Eq}(i) \]

Burada Eq denklem anlamına gelir. Eq(i) ise i’inci denklem veya katsayı matrisinin i’inci satırı anlamına gelir.

Yukarıda verilen formülasyondaki eksi (-) işareti her zaman eksi kalmalıdır çünkü bu formülü kodlarken tek bir işaret kullanılmalıdır.

Yukarıda verilen formülasyonda \(\rightarrow\) ’un sağındaki ve solundaki “i” indisine dikkat ediniz.

Örneğin

Eq(1) - 4 Eq(2) \(\rightarrow\) Eq(1). Burada \(\lambda=4\).
Eq(2) - (-5) Eq(3) \(\rightarrow\) Eq(2). Burada \(\lambda=-5\).

Tüm satır işlemleri sadece katsayı matrisine değil sonuç vektörüne (matrisine), \(b\), de uygulanır.

Örnek

Aşağıdaki denklemi Gauss-Jordan yöntemi kullanarak çözelim.

\[ 4x_{1}- 2x_{2}+ x_{3} = 11\\ -2x_{1}+ 4x_{2}- 2x_{3}= -16\\ x_{1}-2x_{2}+4x_{3}= 17 \]

Matris formunda yazalım.

\[ \begin{bmatrix} 4 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \\ 1 & -2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 \\ -16 \\ 17 \end{bmatrix} \]

Burada satırları yani denklemleri isimlendirelim.

1. denklemi yani Eq(1) \([4~~~-2~~~1]\) olur.
1. denklemi yani Eq(2) \([-2~~~4~~~-2]\) olur.
1. denklemi yani Eq(3) \([1~~~-2~~~4]\) olur.

ADIM 1

2. satır 1. sütunu yani \(A_{21}\) terimini \(0\) yapalım. Bu işlemde \(\lambda=~-0.5\) olmalı aşağıdaki işlem uygulanmalı.

\(\lambda=\) A[1,0]/A[0,0]

\[ \text{Eq}(2) - ~(-0.5)~ \text{Eq}(1) \rightarrow \text{Eq}(2) \]

\[ A=\begin{bmatrix} 4 & -2 & 1 \\ \mathbf{0} & 3 & -1.5 \\ 1 & -2 & 4 \end{bmatrix} \qquad \text{,} \qquad \vec{b}=\begin{bmatrix} 11 \\ -10.5 \\ 17 \end{bmatrix} \]

ADIM 2

3. satır 1. sütunu yani \(A_{31}\) terimini \(0\) yapalım. Bu işlemde \(\lambda=~0.25\) olmalı aşağıdaki işlem uygulanmalı.

\(\lambda=\) A[2,0]/A[0,0]

\[ \text{Eq}(3) - ~(0.25)~ \text{Eq}(1) \rightarrow \text{Eq}(2) \]

\[ A=\begin{bmatrix} 4 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -1.5 \\ \mathbf{0} & -1.5 & 3.75 \end{bmatrix} \qquad \text{,} \qquad \vec{b}=\begin{bmatrix} 11 \\ -10.5 \\ 14.25 \end{bmatrix} \]

ADIM 3

3. satır 2. sütunu yani \(A_{32}\) terimini \(0\) yapalım. Bu işlemde \(\lambda=~-0.5\) olmalı aşağıdaki işlem uygulanmalı.

\(\lambda=\) A[2,1]/A[1,1]

\[ \text{Eq}(3) - ~(-0.5)~ \text{Eq}(2) \rightarrow \text{Eq}(2) \]

\[ A= \begin{bmatrix} 4 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -1.5 \\ 0 & \mathbf{0} & 3 \end{bmatrix} \qquad \text{,} \qquad \vec{b}=\begin{bmatrix} 11 \\ -10.5 \\ 9 \end{bmatrix} \]

Katsayı matrisimiz üst üçgensel forma geldi.

ADIM 4

Üst üçgensel forma getirilen katsayı matrsinden çözüm elde edebiliriz. Bunun için geri yerine koyma metodu kullanacağız.

\[ A= \begin{bmatrix} 4 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -1.5 \\ 0 & \mathbf{0} & 3 \end{bmatrix} \qquad \text{,} \qquad \vec{b}=\begin{bmatrix} 11 \\ -10.5 \\ 9 \end{bmatrix} \]

En son satırdan çözüm elde etmeye başlayalım.

x[2] = b[2]/ A[2,2]

\[ 3x_{3}=9\\ x_{3}=3 \]

Sondan bir önceki satıra yani ikinci satıra bakalım.

x[1] = (b[1] - A[1,2]* x[2])/A[1,1]

\[ 3x_{2}-1.5x_{3}=-10.5\\ 3x_{2}-4.5=-10.5\\ x_{2}=-2 \]

İlk satıra bakalım.

x[0] = (b[0] - A[0,1]* x[1] - A[0,2]* x[2])/A[0,0]

\[ 4x_{1}-2x_{2}+x_{3}=11\\ 4x_{1}+4+3=11\\ x_{1}=1 \]

Bu durumda çözüm vektörümüz, \(\vec{x}\), aşağıdaki gibi olacaktır.

\[ \vec{x}= \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix} \]

Satır İşlemleri ve Determinant İlişkisi

İki satırın yerini değiştrimek \(|A|\) determinantının işareti değiştirir.
Matrisin bir satırını bir katsayı ile çarparsak, matris determinanı da o katsayı ile çarpılır.
Bir katsayı ile bir satırı çarpıp, o satırı başka bir satır ile toplayıp ardindan topladığımız satırı katsayı ile çarpığıımz satır yerine yazarsak (yukarıda yaptığımız işlemler) determinant, \(|A|\), değişmez.
Alt veya üst köşegen formda olan bir matrisin determinantı, köşegen elemanlarının çarpımına eşittir.

Alıştırma

Aşağıdaki denklem sistemini Gauss Eleme yöntemi ile çözün. Çözüm elde ederken alt üçgen formuna getirin.

\[ \begin{bmatrix} 4 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \\ 1 & -2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 \\ -16 \\ 17 \end{bmatrix} \]

ÇÖZÜM

ADIM 1

2 satır 1. sütunu yani \(A_{21}\) terimini \(0\) yapalım. Bu işlemde \(\lambda=~-0.5\) olmalı aşağıdaki işlem uygulanmalı.

\(\lambda=\) A[0,1]/A[1,1]

\[ \text{Eq}(1) - ~(-0.5)~ \text{Eq}(2) \rightarrow \text{Eq}(1) \]

\[ A=\begin{bmatrix} 3 & \mathbf{0} & 0 \\ -2 & 4 & -2 \\ 1 & -2 & 4 \end{bmatrix} \qquad \text{,} \qquad \vec{b}=\begin{bmatrix} 3 \\ -16 \\ 17 \end{bmatrix} \]

ADIM 2

1. satır 3. sütun da 0 oldu. Geriye sadece 2. satır 3. sütun kaldı. Bunun için \(\lambda=-0.5\) almalıyız.

\(\lambda=\) A[1,2]/A[2,2]

\[ \text{Eq}(2) - ~(-0.5)~ \text{Eq}(3) \rightarrow \text{Eq}(2) \]

\[ A=\begin{bmatrix} 3 & 0 & \mathbf{0} \\ -1.5 & 3 & \mathbf{0} \\ 1 & -2 & 4 \end{bmatrix} \qquad \text{,} \qquad \vec{b}=\begin{bmatrix} 3 \\ -7.5 \\ 17 \end{bmatrix} \]

ADIM 3

İleri yerine koyma metodu ile çözümü elde edelim.

\[ 3_{x_{1}}=3\\ x_{1}=1 \]

\[ -1.5x_{1}+3x_{2}=-7.5\\ x_{2}= -2 \]

\[ x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=17\\ x_{3}=3 \]

Gauss Eleme Yönteminin algoritması

Yapılacaklar

Bir fonksiyon oluştur. gauss_eleme_ust_ucgen. Bu fonksiyon iki değişken alsın. katsayiMat ve sonucVec.
Katsayı matrisi ve sonuç matrisindeki tüm elemanlar float olmalı. katsayiMat.astype(float) ve sonucVec.astype(float) kullan.
\(\text{Eq}(i) - ~\lambda~ \text{Eq}(j) \rightarrow \text{Eq}(i)\) algoritmasını yaz. Sadece katsayı matrisi için değil sonuç vektörü için de uygula. Üst üçgensel forma getir.
1. Örneklerden de gördüğün üzere satırlara ve sütunlara erişmen gerekecek. Bunun için iki adet for döngüsü kullan.
2. [Kontrol] Katsayı matrisinin önceki halini yazdır.
3. Eğer \(0\) yapmak istediğin eleman 0 ise işlem yapmana gerek yok.
4. \(\lambda\) değerini hesapla.
5. [Kontorl] \(\lambda\) değerini yazdır.
6. Algoritmayı yaz. Katsayı matrisini değiştir.
7. Sonuç vektörünü değiştir.
8. [Kontrol] Katsayı matrisinin sonraki halini yazdır.
Geri yerine koyma fazını uygula çözüm vektörünü elde et.
1. for döngüsü kullanılmalı. Matrislerde yerine koyma işlemi en son satırdan başlayacak. Döngü sondan başa gitmeli. Ör. for i in range(2, -1, -1): -> [2,1,0]
Çözüm vektörünü döndür.
[Kontrol] Aşağıdaki girdiler için çalıştır. Sonuçlar doğru mu kontrol et.

A= np.array([[4, -2, 1], [-2, 4, -2], [1, -2, 4]])
b= np.array([11, -16, 17])
print(f"Çözüm vektörü: {gauss_eleme_ust_ucgen(A, b)}")

Çıktı aşağıdaki gibi olmalı

[ 1. -2.  3.]

Geliştirmeler

Eğer katsayı matrisi kare değilse hata ver.
\(\lambda\) elde edilirken 0’a bölme hatası vermemesi için kontrol yap.

Python Kodu

import numpy as np

def gauss_eleme_ust_ucgen(katsayiMat, sonucVec):
    # Boyut
    n= len(sonucVec)
    # Katsayı ve sonuç matrislerini float tipine çevir.
    katsayiMat= katsayiMat.astype(float)
    sonucVec= sonucVec.astype(float)
    # Üst üçgensel matris oluştur.
    for k in range(0, n-1): # k: pivot satırı
        for i in range(k+1, n): # i: pivot satırından sonraki satırlar
            #print(f"katsayiMat Once\n {katsayiMat}")
            if katsayiMat[i, k] != 0:
                lamb = katsayiMat[i, k]/ katsayiMat[k, k]
                #print(f"lamb: {lamb}")
                # Katsayı matrisini değiştir
                #print(f"i, k: {i}, {k}")
                #print(f"katsayiMat[i, k:n]: {katsayiMat[i, k:n]}")
                #print(f"lamb*katsayiMat[k, k:n]: {lamb*katsayiMat[k, k:n]}")
                #print(f"katsayiMat[i, k:n]- lamb* katsayiMat[k, k:n]: {katsayiMat[i, k:n]- lamb* katsayiMat[k, k:n]}")
                katsayiMat[i, :]= katsayiMat[i, :]- lamb* katsayiMat[k, :]
                # Sonuç vektörünü değiştir
                sonucVec[i]= sonucVec[i]- lamb* sonucVec[k]
            #print(f"katsayiMat Sonra\n {katsayiMat}")
    
    # Geri Yerine Koyma Yap
    cozumVek= np.zeros(n)
    # Son satırdan başlayarak geriye doğru ilerleme
    for i in range(n-1, -1, -1):
        cozum= sonucVec[i]
        # Üst üçgensel formülde yerine koyma
        for j in range(i+1, n):
            cozum= cozum- katsayiMat[i,j] * cozumVek[j]
        # Katsayı matrisinde doğrudan çözümü bulma
        cozumVek[i]= cozum/ katsayiMat[i,i]
        
    return cozumVek

A= np.array([[4, -2, 1], [-2, 4, -2], [1, -2, 4]])
b= np.array([11, -16, 17])

print(gauss_eleme_ust_ucgen(A,b))

Problemler

Problem 1

Aşağıda verilen denklem sistemlerini LU ayrıştırma yöntemiyle çözün.

Hem L hem de U matrislerini ekrana yazdırın.
Çözümü (\(x_{1,2,3}\) ve \(y_{1,2,3}\)) ekrana yazdırın.

Denklem sistemi:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 7 & 9 & 11 \\ 13 & 15 & 42 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 & y_{1}\\ x_2 & y_{2}\\ x_3 & y_{3} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \\ 42 & 12 \end{bmatrix} \]