BDP - Euler Yöntemi

Yazar

Taygun Bulmus

Yayınlanma Tarihi

26 Ağustos 2024

Euler yöntemi diferansiyel denklem çözümü için kullanılan en basit yöntemdir.
Alternatif isimleri Euler-Cauchy veya nokta-eğim (point-slope) yöntemidir.
Kabaca türevin tanımını kullanır.

$y^{'} (x) = \frac{y (x + h) - y (x)}{h}$

Çözüm olarak Taylor serisini kullanacağız. $y (x + h) = y (x) + h \times y^{'} (x) + \cdot$

Amacımız başlangıç koşulundan itibaren adım adım $y (x)$ fonksiyonunu bulmaktır. $x$ noktasından $x + h$ noktasına ilerlediğimiz için bu yöntem “ileri adım” yöntemidir.

Not

Alternatif olarak her (x+h) noktası için integral de alabiliriz ancak diferansiyel denklem çözerken sayısal integral alma yöntemleri kullanmak sakıncalıdır.

Hata Analizi

Bir uygulamada Taylor serisi kullanılırsa hata analizi aşağıdaki gibi yapılır. Farz edelim ki $f (x + h)$ fonksiyonunu $f (x)$ etrafında seriye açıyoruz ve $n$ ’nci dereceden terimden sonrasını atıyoruz. $E_{n}$ terimi ise kestiğimiz terimden sonraki terimler yani hata terimi olarak tanımlansın.

$f (x + h) = f (x) + f^{'} (x) h + \frac{f^{″} (x)}{2!} h^{2} + \dots + \frac{f^{(n)} (x)}{n!} h^{n} + E_{n}$

Hata terimi $E_{n}$ ’e kesme hatası (truncation error) adı verilir. Bu hatanın en büyük değeri Taylor teoreminden bulunabilir.

$E_{n} = f^{n + 1} (ξ) \frac{h^{n + 1}}{(n + 1)!}$

Burada $ξ$ , $x$ ile $x + h$ arasında bir değerdir. Bu değer ulaşılabilir değilse kesme hatasını belirleyen terim $h$ adım aralığı olacaktır. Yani

$E_{n} = O (h^{n + 1})$

Euler Yöntemi ile Çözümde Hata Analizi

Euler yöntemi kullanılırken her bir adımdaki kesme hatası $O (h^{2})$ ’dir çünkü ikinci dereceden türev terimlerini ihmal ediyoruz. Her $h$ adımda bu hata üst üste binecektir. Yani denklem $n$ adımda çözülüyorsa kesme hatası da $n$ kere tekrarlanacaktır.

$E_{a c c} = n E_{2} = \frac{x_{n} - x_{0}}{h} E_{2} = O (h)$

Euler yöntemi ile diferansiyel denklem çözümünde kesme hata payı $h$ adım aralığı ile orantılı olacaktır.

Euler Yönteminin Geometrik Tasviri

Basitlik için çözmek istediğimiz $y (x)$ fonksiyonu tek değişkene bağlı olsun. Bu fonksiyonun $x$ ve $x + h$ arasındaki değişimi aşağıdaki gibi olur [1].

$y (x + h) = y (x) + h \times y^{'} (x)$

Buradan şu sonuç çıkarılabilir. Bulmak istediğimiz $y (x + h)$ terimi, $y (x)$ terimine ve o noktadaki eğiminin (türevinin) adım aralığı kadar katının toplamına eşittir.

Euler Yönteminin Kodlanması

add_coz_euler adlı fonksiyon bilYonMod.py modülünde tanımlıdır.

Not

add_coz_euler fonksiyonunu inceleyiniz.

Dikkat

add_coz_euler(fonk_y_x, xBaslangic, xBitis, yBaslangic, adimSayisi) fonksiyonunu çağırırken diferansiyel denklemin ( $y^{'} (x) = f (y, x)$ ) sağ tarafında yer alan ve çözmeniz gereken fonksiyonda, $f (y, x)$ , önce y ardından x tanımlanmalıdır. Yani kodda fonksiyon $f (y, x)$ şeklinde yazılmalıdır. Burada $y$ değişkeni $y (x)$ olarak tanımlanır, $x$ ise bağımsız değişkendir.

Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözen bir örneği inceleyelim.

$\frac{d}{d x} y (x) = x, y (0) = 1, x = [0, 1], n = 10000$

Çözüm aşağıdaki gibi olacaktır.

$y (x) = 1 + \frac{x^{2}}{2}$

################################################
## Modül yolunu varsayılan yol olarak ekleme ve modülü içe aktarma
import os
import sys
# Bu dosyanın bulunduğu dizini al
current_dir = os.path.abspath('')
# 3 üst dizine çık
module_dir = os.path.join(os.path.abspath(os.path.join(current_dir, os.pardir, os.pardir, os.pardir)), 'moduller')
# moduller dizinini yol olarak ekle
sys.path.append(module_dir)
# bilYonMod.py modülünü içe aktar
import bilYonMod as bym
################################################

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Fonksiyon
def fonk_y_x(y, x):
    return x
# Başlangıç koşulları
x0 = 0
y0 = 1
xSon = 1
n = 10
# Çöz
xTum, yTum = bym.add_coz_euler(fonk_y_x, x0, xSon, y0, n)
# Çiz
plt.plot(xTum, yTum, 'o-', color='r', label='Euler')
plt.plot(xTum, 1+(xTum**2)/2, 'k', label='Analitik')
plt.xlabel('$x$')
plt.ylabel('$y(x)$')
plt.legend()
plt.show()

Alıştırma 1

Euler yöntemi ile aşağıdaki diferansiyel denklemi çözün ve analitik çözüm ile karşılaştırın.

$y^{'} + 4 y = x^{2}, y (0) = 1, x = [0, 0.03], n = 10$

Analitik çözüm:

$y (x) = \frac{31}{32} e^{- 4 x} + \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{8} x + \frac{1}{32}$

Çözüm

################################################
## Modül yolunu varsayılan yol olarak ekleme ve modülü içe aktarma
import os
import sys
# Bu dosyanın bulunduğu dizini al
current_dir = os.path.abspath('')
# 3 üst dizine çık
module_dir = os.path.join(os.path.abspath(os.path.join(current_dir, os.pardir, os.pardir, os.pardir)), 'moduller')
# moduller dizinini yol olarak ekle
sys.path.append(module_dir)
# bilYonMod.py modülünü içe aktar
import bilYonMod as bym
################################################

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Fonksiyon
def fonk_y_x(y, x):
    return -4*y + x**2
# Başlangıç koşulları
x0 = 0
y0 = 1
xSon = 0.03
n = 10
# Çöz
xTum, yTum = bym.add_coz_euler(fonk_y_x, x0, xSon, y0, n)
# Analitik çözüm
yAnalitik=(31/32)*np.exp(-4*xTum) + (1/4)*(xTum**2) - (1/8)*xTum + (1/32)
# Çiz
plt.plot(xTum, yTum, 'o-', color='r', label='Euler')
plt.plot(xTum, yAnalitik, 'k', label='Analitik')
plt.xlabel('$x$')
plt.ylabel('$y(x)$')
plt.legend()
plt.show()

Problemler

Problem 1

Basit bir RC devresi ele alalım. Bu devrede voltaj kaynağı olmasın, kondansatör $t = 0$ s’de $V_{0} = 10$ V gerilime sahip olsun. Devrede $R = 220$ k $Ω$ direnci ve $C = 10$ $μ$ F kondansatörü olsun. Devre bu haldeyken devreyi tamamlayalım. Devrenin voltajı-zaman grafiğini Euler yöntemi kullanarak çiziniz.

$C \frac{d V}{d t} + \frac{V}{R} = 0$

Analitik çözüm: $V (t) = V_{0} e^{- t / R C}$

Problem 2

Thoryum-234’ün yarılanma ömrü $τ = 24.1$ gündür. $N_{0} = 150$ g saf Thoryum-234 izotopu $100$ gün bekletilmektedir. İçerisinde kalan içerisinde kalan Thoryum-234 miktarı-zaman grafiğini Euler metodu kullanarak çiziniz.

$\frac{d N}{d t} = - \frac{\ln 2}{τ} N$

Analitik çözüm: $N (t) = N_{0} e^{- t (\ln 2 / τ)}$

Referanslar

[1]

Differential Equations - Euler’s Method, (2024).