SDP - Giriş

Sınır Değer Problemi

Farz edelim ki aşağıdaki gibi ikinci dereceden diferansiyel denklemimiz olsun.

\[ y''(x) = f(x,y(x),y'(x)) \]

Bu denklemdeki \(y(x)\) ve \(y'(x)\) fonksiyonunun aynı \(x\) (ör. \(x=0\)) noktasındaki değerini biliyorsak bu denklem başlangıç değer problemidir. Bu denklemin \(y(x=a)\) ve \(y(x=b)\) noktalarındaki değerlerini biliyorsak bu denklem kabaca sınır değer problemidir. Yukarıda verdiğimiz örneğe iki-noktalı sınır değer problemi de denir (2-point boundary value problem). Birinci dereceden diferansiyel denklem için sınır değer problemi ile başlangıç değer problemi aynıdır, çünkü denklem bir adet koşula sahiptir.

Örneğin Kuyudaki bir parçacığın kuantum mekaniksel hareket denklemi aşağıdaki gibi yazılır.

\[ \frac{-h}{4\pi m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}\psi(x) = E\psi(x), \qquad \psi(x=-L/2)=0, \qquad \psi(x=L/2)=0 \text{.} \]

Birinci türeve ait bir koşul bilmiyoruz. Sadece bulmak istediğimiz fonksiyonun sınır değerlerini biliyoruz.

Uyarı

Başlangıç değer probleminde n. dereceden diferansiyel denklemi çözebilmek için n adet başlangıç koşuluna ihtiyaç vardır. Bu başlangıç koşulları da (n-1). dereceden türeve kadar olmak zorundadır.

Sınır değer problemlerini çözmek için birinci türeve ait olan denklemdeki başlangıç koşuluna ihtiyaç vardır. Bu sorunu:

1. Başlangıç koşulunu tahmin ederek aşabiliriz. Bu yönteme atış yöntemi (shooting method) denir.
2. Diferansiyel denklemi örgü noktalarına (mesh points) bölerek çözebiliriz. Bu yönteme sonlu farklar yöntemi (finite difference method) denir.