Amaç: Verilem bir \(f(x)\) fonksiyonunun n. dereceden türevini hesaplamak.
Amaç2: Verilen bir veri setinden n. dereceden türevi hesaplamak.
Taylor serisini hatırlayalım.
\[ \begin{align*} f(x+h)=& f(x) + f'(x)h + \frac{f''(x)}{2!}h^2 + \frac{f'''(x)}{3!}h^3 + \cdots \\ f(x+2h)=& f(x) + f'(x)2h + \frac{f''(x)}{2!}(2h)^2 + \frac{f'''(x)}{3!}(2h)^3 + \cdots \\ f(x-h)=& f(x) - f'(x)h + \frac{f''(x)}{2!}h^2 - \frac{f'''(x)}{3!}h^3 + \cdots \\ f(x+2h)=& f(x) + f'(x)2h + \frac{f''(x)}{2!}(2h)^2 + \frac{f'''(x)}{3!}(2h)^3 + \cdots \end{align*} \]
Denklemlerin sağ ve sol tarafları belirli şekillerde toplayalım.
\[ \begin{align*} f(x+h) + f(x-h) =& 2f(x) + 2\frac{f''(x)}{2!}h^2 + \cdots \\ f(x+h) - f(x-h) =& 2f'(x)h + 2\frac{f'''(x)}{3!}h^3 + \cdots \end{align*} \]
ve
\[ \begin{align*} f(x+2h) + f(x-2h) =& 2f(x) + 2\frac{f''(x)}{2!}(2h)^2 + \cdots \\ f(x+2h) - f(x-2h) =& 2f'(x)2h + 2\frac{f'''(x)}{3!}(2h)^3 + \cdots \end{align*} \]
\(f(x+h) - f(x-h)\) ile ilde ettiğimiz denklemden birinci türevi hesaplayabiliriz.
\[ \begin{align*} f'(x) = \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h} + \mathcal{O}(h^2) \end{align*} \]
Burada \(\mathcal{O}(h^2)\) terimi \(h^2\)’den daha küçük olduğu için ihmal edilebilir.
\[ \begin{align*} \mathcal{O}(h^2) = - \frac{f'''(x)}{3!}h^3 + \cdots \end{align*} \]
Geometrik yorumu şu şekildedir.
Kaynak: Slideshare
İkinci dereceden türevi hesaplamak için ise \(f(x+h) + f(x-h)\) ile ilde ettiğimiz denklemden yararlanabiliriz.
\[ \begin{align*} f''(x) = \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2} + \mathcal{O}(h^2) \end{align*} \]
Üçüncü dereceden türevi aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz.
\[ \begin{align*} f'''(x) = \frac{f(x+2h) - 2f(x+h) + 2f(x-h)-f(x-2h) }{2h^3} + \mathcal{O}(h^2) \end{align*} \]
Türev ifadelerini bir tablo haline getirelim.
İlk Merkezi Farklar Yaklaşıklığı
| Türev Derecesi | f(x-2h) | f(x-h) | f(x) | f(x+h) | f(x+2h) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(2hf'(x)\) | -1 | 0 | 1 | ||
| \(h^2f''(x)\) | 1 | -2 | 1 | ||
| \(2h^3f'''(x)\) | -1 | 2 | 0 | -2 | 1 |
| \(h^4f^{(4)}(x)\) | 1 | -4 | 6 | -4 | 1 |
Yukarıdaki tabloya baktığımızda \(f(x)\) fonksiyonunun uç noktalarında türevi hesaplayamadığımızı görebiliriz. Bu nedenle uç noktalarda türevi hesaplayabilmek için başka bir yöntem kullanmalıyız.
\[ \begin{align} f'(x)= \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h} + \mathcal{O}(h) \end{align} \]
Burada \(f(x+h)\) terimi son noktada, \(f(x-h)\) terimi ise ilk noktada hesaplanamaz. Taylor açılımını daha farklı tanımlayalım.
İlk Noktayı Hesaplamak İçin
\[ \begin{align} f'(x)= \frac{f(x+h) - f(x)}{h} + \mathcal{O}(h) \end{align} \]
Son Noktayı Hesaplamak İçin
\[ \begin{align} f'(x)= \frac{f(x) - f(x-h)}{h} + \mathcal{O}(h) \end{align} \]
Böylelikle fonksiyonun her noktasında türev alabildik. Merkezi değerleri kullanmayı bıraktık. (Non-Central)
Tabloyu güncelleyelim.
İlk, Merkezi Olmayan Farklar Yaklaşıklığı, İleri Sonlu Fark
| Türev Derecesi | f(x) | f(x+h) | f(x+2h) | f(x+3h) | f(x+4h) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(hf'(x)\) | -1 | 1 | |||
| \(h^2f''(x)\) | 1 | -2 | 1 | ||
| \(h^3f'''(x)\) | -1 | 3 | -3 | 1 | |
| \(h^4f^{(4)}(x)\) | 1 | -4 | 6 | -4 | 1 |
İlk, Merkezi Olmayan Farklar Yaklaşıklığı, Geri Sonlu Fark
| Türev Derecesi | f(x-4h) | f(x-3h) | f(x-2h) | f(x-h) | f(x) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(hf'(x)\) | -1 | 1 | |||
| \(h^2f''(x)\) | 1 | -2 | 1 | ||
| \(h^3f'''(x)\) | -1 | 3 | -3 | 1 | |
| \(h^4f^{(4)}(x)\) | 1 | -4 | 6 | -4 | 1 |
Daha hassas türev almak için ne yapmalıyız?
Taylor serisini biraz daha genişletelim.
\[ \begin{align*} f(x+h) = f(x) + f'(x)h + \frac{f''(x)}{2!}h^2 + \frac{f'''(x)}{3!}h^3 + \frac{f^{(4)}(x)}{4!}h^4 + \cdots \\ f(x+2h) = f(x) + f'(x)2h + \frac{f''(x)}{2!}(2h)^2 + \frac{f'''(x)}{3!}(2h)^3 + \frac{f^{(4)}(x)}{4!}(2h)^4 + \cdots \\ \end{align*} \]
Bu iki denklemi aşağıdaki gibi yazalım.
\[ \begin{align*} f(x+2h) - 4f(x+h) = -3f(x) - 2hf'(x) + \frac{h^{4}}{2} f^{(4)}(x) + \cdots \\ \end{align*} \]
Birinci dereceden türevi aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz.
\[ \begin{align*} f'(x) = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{h}{2} f''(x) + \mathcal{O}(h^2) \end{align*} \]
İkinci dereceden türevi aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz.
\[ \begin{align*} f''(x) = \frac{f(x+2h) - 2f(x+h) + f(x)}{h^2} + \mathcal{O}(h) \end{align*} \]
Şimdi birinci dereceden türev içerisindeki \(f''(x)\) yerine yukarıdaki bulduğumuz terimi koyalım.
\[ \begin{align*} f'(x)= \frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{h}{2} \left( \frac{f(x+2h) - 2f(x+h) + f(x)}{h^2} + \mathcal{O}(h) \right) + \mathcal{O}(h^2) \\ \end{align*} \]
İkinci dereceden türev terimini kullanarak birinci dereceden türevi hesaplayabiliriz. (İkinci)
\[ \begin{align*} f'(x)= \frac{-f(x+2h) + 4f(x+h) - 3f(x)}{2h} + \mathcal{O}(h^2) \end{align*} \]
| Yasa | Denklem | Alanı | Gradyent | Akı |
|---|---|---|---|---|
| hız | \(v=\frac{dx}{dt}\) | Genel | Konum | Hız |
| Fourier Kanunu | \(q=-k\frac{dT}{dx}\) | Sıcaklık İletimi | Sıcaklık | Sıcaklık Akısı |
| Ohm Kanunu | \(J=-\sigma \frac{dV}{dx}\) | Akım Debisi | Volt | Akım Akısı |
| Newton Viskozite Kanunu | \(\tau=\mu\frac{du}{dx}\) | Akışkanlar | Hız | Kesme Gerilimi |
Kaynak: Introduction to Engineering and Scientific Computing with Python, David E. Clough, Steven C. Chapra, 1. Baskı, 2022
Farz edelim ki bir arabanın konumu belirli saniyelerle ölçülsün.
| x [m] | t [s] |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 3 | 2 |
| 5 | 3 |
| 7 | 4 |
Bu verileri kullanarak arabanın hızını hesaplayalım.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
veri=np.array([[1,1],
[2,3],
[3,5],
[4,7]])
# Grafiği çizdirelim
plt.plot(veri[:,0],veri[:,1],'ro')
plt.xlabel('t [s]')
plt.ylabel('x(t) [m]')
plt.show()
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def turev_merkezi_olmayan_ilk_birinci(veri):
xVeri= veri[:,0]
yVeri= veri[:,1]
veriAdeti= len(xVeri)
# Turev terimi bir adet eksik olacak.
# turev değişkeninin ilk sütunu xVerisi, ikinci sütunu türev değeri olacak.
turev= np.zeros((veriAdeti,2))
# Adım aralığı sabit ise
# h=xVeri[1]-xVeri[0]
# Birinci dereceden türev algoritması
for i in range(veriAdeti-1):
turev[i,0]= xVeri[i]
turev[i,1]= (yVeri[i+1]- yVeri[i])/ (xVeri[i+1]- xVeri[i])
# turev[i,1]=(yVeri[i+1]-yVeri[i])/h
# Son terimin türevi
turev[-1,0]= xVeri[-1]
turev[-1,1]= (yVeri[-1]- yVeri[-2])/ (xVeri[-1]- xVeri[-2])
return turev
# Türev Hesapla
turev= turev_merkezi_olmayan_ilk_birinci(veri)
turevXVeri= turev[:,0]
turevYVeri= turev[:,1]
# Grafiği çizdirelim
plt.plot(turevXVeri,turevYVeri,'ro')
plt.xlabel('t [s]')
plt.ylabel('v(t) [m/s]')
plt.show()
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Veriyi scipy ile interpolasyon yapalım. LAgrange polinomu kullanalım
from scipy.interpolate import lagrange
polinom= lagrange(veri[:,0],veri[:,1])
# Polinomu çizdirelim
x= np.linspace(1,4,100)
plt.plot(x,polinom(x),'b-')
plt.plot(veri[:,0],veri[:,1],'ro')
plt.xlabel('t [s]')
plt.ylabel('x(t) [m]')
plt.show()
# Polinomu yazdıralım
print(polinom)
# Polinomun sadece katsayılarını yazdıralım
print(polinom.c)
# Bu polinomun türevini alalım
turevPolinom= polinom.deriv()
print(turevPolinom)
# Polinomun türevini çizdirelim
plt.plot(x,turevPolinom(x),'b-')
plt.plot(turevXVeri,turevYVeri,'ro')
plt.xlabel('t [s]')
plt.ylabel('v(t) [m/s]')
plt.show()
3 2
-2.22e-16 x + 8.882e-16 x + 2 x - 1
[-2.22044605e-16 8.88178420e-16 2.00000000e+00 -1.00000000e+00]
2
-6.661e-16 x + 1.776e-15 x + 2