BDP - Giriş

Başlangıç Değer Problemi

Amaç \(y'=F(x,y)\) denklemini, \(y(a)=\alpha\) başlangıç koşuluyla çözüp \(y(x)\)’i istenilen aralıkta elde etmek.

Aşağıdaki gibi formda olan diferansiyel denklemlere birinci dereceden adi diferansiyel denklemler denir.

\[ \frac{dy}{dx}=y'=f(x) \]

Her iki tarafın integralini alırsak sağ tarafta bir integral sabiti olur. Bu integral sabitini belirlemek için bir adet başlangıç koşuluna veya sınır değere ihtiyaç vardır.

Eğer n. dereceden diferansiyel denklem varsa, yani \(y^{(n)}=f(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)})\), bu durumda n adet başlangıç koşuluna veya sınır değere ihtiyaç vardır.

Yüksek dereceden diferansiyel denklemler düşük dereceden diferansiyel denklemlere çevrilebilir. Örneğin,

\[ y''=-y(x) \qquad y'(x) \equiv v(x) \qquad v'(x)=-y(x) \]

Yukarıdaki denklemin koşulları \(y(0)=1\), \(v(0)=1\) şeklinde ise başlangıç değer problemi, \(y(0)=1\) ve \(v(100)=0\) şeklinde farklı ise sınır değer problemi olarak tanımlanır.

Diferansiyel denklemler tek halde bulunabildiği gibi çoklu halde de bulunabilir. Örneğin,

\[ \textbf{y}'=\textbf{F}(x,\textbf{y}) \]

\[ \begin{bmatrix} y_1' \\ y_2' \\ \vdots \\ y_n' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} f_1(x,y_1,y_2,\cdots,y_n) \\ f_2(x,y_1,y_2,\cdots,y_n) \\ \vdots \\ f_n(x,y_1,y_2,\cdots,y_n) \end{bmatrix} \]