Bu yöntem kullanışlı değildir ancak basit bir yöntemdir.
Eğer \((n+1)\) adet veri noktası varsa, \(n\). dereceden biricik (unique) bir polinom aşağıdaki gibi yazabiliriz.
\[ P_{n}(x)= \sum_{i=0}^{n} y_{i}l_{i}(x) \]
Burada \(l_{i}(x)\) kardinal fonksiyonudur ve aşağıdaki gibi tanımlanır.
\[ l_{i}(x)= \prod_{j=0, j \ne i}^{n} \frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}} \qquad \text{,} \quad i = 0,1,2,\dots,n \]
\(n+1\) adet noktamız var ise Python kodlarında iterasyon \(0\)’dan başladığı için \(P_{n}\) yazacağız.
Örnek
İki noktamıs olsun. İki noktanın interpolasyonu düz çizgi olacak.
\[ P_{1}(x)= y_{0}l_{0}(x) + y_{1}l_{1}(x) \]
\[ l_{0}(x)= \frac{x-x_{1}}{x_{0}-x_{1}} \qquad \text{,} \quad l_{1}(x)= \frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}} \]
\[ P_{1}(x)= y_{0}\frac{x-x_{1}}{x_{0}-x_{1}} + y_{1}\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}} \]
Örnek verimiz aşağıdaki gibi olsun.
| x | y | |
|---|---|---|
| 0. Veri | 0 | 4 |
| 1. Veri | 1 | 5 |
\[ P_{1}(x)= 4\frac{x-1}{0-1} + 5\frac{x-0}{1-0} \\ \quad\\ P_{1}(x)= x+4 \]
Bu yöntem Lagrange yönteminden daha etkili ve kullanışlıdır. En genel olarak interpolasyon polinomu aşağıdaki gibi yazılır.
\[ P_{n}(x)= a_{0} + a_{1}(x-x_{0}) + a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1}) + \dots + a_{n}(x-x_{0})(x-x_{1})\dots(x-x_{n-1}) \]
Burada \(a_{i}\) katsayılarıdır. Birazdan bu katsayıların nasıl elde edildiğini göreceğiz.
Örnek
3 veri noktamız olsun. Bu noktaları kullanarak 2. dereceden bir polinom yazalım.
\[ P_{2}(x)= a_{0} + a_{1}(x-x_{0}) + a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1}) \]
Örnek
4 veri noktamız olsun. Bu noktaları kullanarak 3. dereceden bir polinom yazalım.
\[ P_{3}(x)= a_{0} + a_{1}(x-x_{0}) + a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1}) + a_{3}(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2}) \]
\[ P_{3}(x)= a_{0} + (x-x_{0})[a_{1} + (x-x_{1})[a_{2}+ a_{3}(x-x_{2})]] \] \(a_{i}\) katsayısını nasıl bulacağız?
\(P_{3}(x)\) ifadesine tekrar bakalım. Bu polinomu daha düşük dereceden polinomlar cinsinden yazmaya çalışacağız.
\[ P_{3}(x)= a_{0} + (x-x_{0})[a_{1} + (x-x_{1})[a_{2}+ a_{3}(x-x_{2})]] \]
\[ P_{0}(x)= a_{3} \]
\[ P_{3}(x)= a_{0} + (x-x_{0})[a_{1} + (x-x_{1})[a_{2}+ \mathbf{P_{0}(x)}(x-x_{2})]] \]
\[ P_{1}(x)= a_{2}+ P_{0}(x)(x-x_{2}) \]
\[ P_{3}(x)= a_{0} + (x-x_{0})[a_{1} + \mathbf{P_{1}(x)}(x-x_{1})] \]
\[ P_{2}(x)= a_{1}+ P_{1}(x)(x-x_{1}) \]
\[ P_{3}(x)= a_{0} + \mathbf{P_{2}(x)}(x-x_{0}) \]
olacaktır. Bu bağıntılardan kendini tekrarlayan (recurrence) bir formül elde edebiliriz. \(n+1\) adet veri noktası olsun. Bu durumda
\[ P_{k}(x)= a_{n-k}+ P_{k-1}(x)(x-x_{n-k}) \qquad \text{,} \quad k=1,2,\dots,n \qquad \text{ve} \quad P_{0}(x)= a_{n} \text{,} \]
olur.
Hala \(a_{i}\) terimlerini pratik olarak nasıl hesaplayacağımızı bilmiyoruz. Bölünmüş farkını (divided difference) tanımlayalım.
\[ a_{0} \]
\[ a_{1} \equiv \nabla y_{i} \equiv \frac{y_{i}-y_{0}}{x_{i}-x_{0}} \qquad \text{,} \quad i=1,2,\dots,n \]
\[ a_{2} \equiv \nabla^{2} y_{i} \equiv \frac{\nabla y_{i}-\nabla y_{1}}{x_{i}-x_{1}} \qquad \text{,} \quad i=2,3,\dots,n \]
\[ \vdots \]
\[ a_{n} \equiv \nabla^{n} y_{i} \equiv \frac{\nabla^{n-1} y_{i}-\nabla^{n-1} y_{n-1}}{x_{i}-x_{n-1}} \qquad \text{,} \quad i=n \]
Bu terimlerin çıkarılışını görelim. Örneğin 3 adet veri noktamız olsun. \(P_{2}(x)\) terimini oluşturan \(a_{0}\), \(a_{1}\) ve \(a_{2}\) terimlerini elde edelim.
Veri noktalarımız aşağıdaki gibi olsun.
| x | y | |
|---|---|---|
| 0. Veri | \(x_{0}\) | \(y_{0}\) |
| 1. Veri | \(x_{1}\) | \(y_{1}\) |
| 2. Veri | \(x_{2}\) | \(y_{2}\) |
Katsayılar aşağıdaki gibi olur.
\(a_{0}\) terimi:
\[ P_{0}(x=x_{0})= a_{0} \\ y_{0}= a_{0} \]
\(a_{1}\) terimi:
\[ \begin{align*} P_{1}(x=x_{1})=& a_{0} + a_{1}(x_{1}-x_{0}) \\ y_{1}=& y_{0} + a_{1}(x_{1}-x_{0}) \\ a_{1}=& \frac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}} \end{align*} \]
\(a_{2}\) terimi:
\[ \begin{align*} P_{2}(x=x_{2})=& a_{0} + a_{1}(x_{2}-x_{0}) + a_{2}(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1}) \\ y_{2}=& y_{0} + \frac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}(x_{2}-x_{0}) + a_{2}(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1}) \end{align*} \]
Burada \(\nabla y_{1}\equiv\frac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}\) tanımlaması yapalım. Ayrıca \(\nabla y_{2}\equiv\frac{y_{2}-y_{0}}{x_{2}-x_{0}}\) tanımlamasını da kullanacağız.
\[ \begin{align*} y_{2}=& y_{0} + \nabla y_{1}(x_{2}-x_{0}) + a_{2}(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1}) \\ y_{2}-y_{0} =& (x_{2}-x_{0})[\nabla y_{1} + a_{2}(x_{2}-x_{1})] \\ \frac{y_{2}-y_{0}}{x_{2}-x_{0}}=& \nabla y_{1} + a_{2}(x_{2}-x_{1}) \\ \nabla y_{2}-\nabla y_{1}=& a_{2}(x_{2}-x_{1}) \\ \frac{\nabla y_{2}-\nabla y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=& a_{2} \end{align*} \]
Eğer \(\nabla^{2} y_{2}\equiv\frac{\nabla y_{2}- \nabla y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\) tanımlaması yaparsak
\[ a_{2}= \nabla^{2} y_{2} \]
şeklinde yazılabilir. Üçten fazla nokta için bu iç içe koyma devam eder.
Örnek
3 veri noktamız olsun. Bu noktaları kullanarak 2. dereceden bir polinom yazalım.
| x | y | |
|---|---|---|
| 0. Veri | 1 | 4 |
| 1. Veri | 2 | 5 |
| 2. Veri | 3 | 7 |
Sayısal örneği aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz.
\[ \begin{matrix} x_{0}=1 & y_{0}=4 \rightarrow a_{0} & & \\ & & \frac{5-4}{2-1}=1 \rightarrow a_{2}& \\ x_{1}=2 & y_{1}=5 & & \frac{2-1}{3-1}=0.5 \rightarrow a_{2} \\ & & \frac{7-5}{3-2}=2 & \\ x_{2}=3 & y_{2}=7 & & \end{matrix} \]
Burada \(a_{0}=4\), \(a_{1}=1\) ve \(a_{2}=0.5\) olarak bulunur. O halde \(P_{2}(x)\) polinomunu tekrar yazalım.
\[ P_{2}(x)= a_{0} + a_{1}(x-x_{0}) + a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1}) \]
Değerleri yerine koyalım.
\[ P_{2}(x)= 4 + 1(x-1) + 0.5(x-1)(x-2) \]
Polinom aşağıdaki gibi olur.
\[ P_{2}(x)= \frac{x^{2}-x+8}{2} \]
Bu polinom eğer doğruysa noktalardan geçiyor olması gerekir.
\[ \begin{align*} P_{2}(x=1)\stackrel{?}{=}4 \rightarrow \frac{1^{2}-1+8}{2}= 4 \quad \checkmark \\ P_{2}(x=2)\stackrel{?}{=}5 \rightarrow \frac{2^{2}-2+8}{2}= 5 \quad \checkmark \\ P_{2}(x=3)\stackrel{?}{=}7 \rightarrow \frac{3^{2}-3+8}{2}= 7 \quad \checkmark \end{align*} \]
Bu ders kapsamında Neville metodunu incelemeyeceğiz.
Veri noktalarını doğrusal olarak birleştirir.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Veri seti oluştur
veri= np.array([[1,1],[2,3],[3,2]])
plt.plot(veri[:,0],veri[:,1],'o', label='veri', color='blue')
plt.plot(veri[0:2,0],veri[0:2,1], color='red')
plt.plot(veri[1:3,0],veri[1:3,1], color='black')
plt.legend()
plt.show()
Burada iki adet fonksiyon vardır. Birincisi (1,1) ve (2,3) noktasını birleştiren \(f_{1}(x)\) fonksiyonudur. İkincisi ise (2,3) ve (3,2) noktasını birleştiren \(f_{2}(x)\) fonksiyonudur.
\[ f_{1}(x) = 2x-1 \]
\[ f_{2}(x) = -x+5 \]
Bu tip interpolasyonlari parçasal (picewise) interpolasyon çeşididir. Tek bir fonksiyon bulmak yerine noktalar arası fonksiyonlar elde edilir.
Noktalar arasıda kuadratik yani ikinci dereceden fonksiyonlar bulunur.
Noktalar arasıda kübik yani üçüncü dereceden fonksiyonlar bulunur.
Spline İnterpolasyonu nedir?
Spline interpolasyonu olabilmesi için fonksiyonların birbirine bağlı ve düzgün olması gerekmektedir. Bunun için fonksiyonların birbirine bağlanması için iki adet kural vardır.
Bu tip kurallar sürekliliği sağlamak için kullanılır. - Türevin sürekli olması demek fonksiyonun teğetinin aniden değişmemesi demektir. - Kübik Spline interplasyonunda ikinci türevler de sürekli olmalıdır. - Kübik Spline interpolasyonunda son noktadaki ikinci türev sıfır olursa o interpolasyona doğal kübik spline (natural cubic spline) adı verilir.
Kübik Spline İnterpolasyonu nasıl yapılır?
Üç nokta alalım. \((x_{0}, y_{0})\), \((x_{1}, y_{1})\), \((x_{2}, y_{2})\). Üç adet nokta varsa iki adet fonksiyon olmalı: \(f_{0}(x)\) ve \(f_{1}(x)\).
\[ f_{0}(x_{1}) = y_{1}= a_{0} + a_{1}x_{1} + a_{2}x_{1}^{2} + a_{3}x_{1}^{3} \\ f_{1}(x_{1}) = y_{1}= b_{0} + b_{1}x_{1} + b_{2}x_{1}^{2} + b_{3}x_{1}^{3} \]
\[ \frac{df_{0}(x)}{dx} |_{(x=x_{1})} = \frac{df_{1}(x)}{dx} |_{(x=x_{1})} \]
\[ f'_{0}(x) = a_{1} + 2a_{2}x + 3a_{3}x^{2} \\ f'_{1}(x) = b_{1} + 2b_{2}x + 3b_{3}x^{2} \]
\[ \frac{d^{2}f_{0}(x)}{dx^{2}} |_{(x=x_{1})} = \frac{d^{2}f_{1}(x)}{dx^{2}} |_{(x=x_{1})} \]
\[ f''_{0}(x) = 2a_{2} + 6a_{3}x \\ f''_{1}(x) = 2b_{2} + 6b_{3}x \]
\[ 2a_{2}+ 6a_{3}x_{2} = 2b_{2} + 6b_{3}x_{2} = 0 \]
Bu ders kapsamında sizlere kağıt üstünde Verilen noktalar için kübik spline interpolasyonu yapın şeklinde bir soru gelmeyecek. Ancak aşağıdaki örneği yapmanız beklenir.
Örnek
Aşağıdaki fonksiyonların kübik spline olabilmesi için \(a\), \(b\), \(c\) katsayıları ne olmalıdır bulunuz.
\[ f_{0}(x) = 2x^{3} - 3x^{2} + 3x -4 \qquad 0 \le x \le \\ f_{1}(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c \qquad 1 \le x \le 2 \]
Çözüm
Olması gereken koşulları yazalım.
Koşul 1:
\[ 2 - 3 + 3 -4 = 1 + a + b + c \\ a + b + c = -3 \]
Koşul 2:
\[ (6x^{2} - 6x + 3)|_{x=1} = (3x^{2} + 2ax + b)|_{x=1} \\ 6 - 6 + 3 = 3 + 2a + b \\ 2a + b = 0 \]
Koşul 3:
\[ (12x - 6)|_{x=1} = (6x + 2a)|_{x=1} \\ 12 - 6 = 6 + 2a \\ a = 0 \]
O halde \(a=0\) olduğu için \(b=0\) ve \(c=-3\) olur. Bu çözüm bu kadar basit olmayabilirdi. Bu durumda 3 bilinmeyenli 3 denklem çözülmesi gerekirdi.
\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
İnterpolasyon ile ilgili gördüğümüz yöntemler aşağıdaki gibidir.
Bu yöntemleri Python kodu ile inceleyelim.
Polinom formülü:
\[ P_{n}(x)= \sum_{i=0}^{n} y_{i}l_{i}(x) \]
Kardinal fonksiyonlar
\[ l_{i}(x)= \prod_{j=0, j \ne i}^{n} \frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}} \qquad \text{,} \quad i = 0,1,2,\dots,n \]
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Lagrange Interpolasyonu
def lagrange_interpolasyon_tekAraDeger(xVeri, yVeri, xAraTekDeger):
'''
Lagrange polinomu ile verilen noktalardan geçen polinom hesaplanır.
'''
# Verilen x datasının boyutu tutulur.
n = int(len(xVeri))
# =================
# Lagrange polinomu hesaplanır.
yTekDeger = 0.0
for i in range(n):
pt = 1.0
# Kardinal fonksiyonu hesaplanır.
for j in range(n):
if i != j:
pt= pt* (xAraTekDeger- xVeri[j])/(xVeri[i]- xVeri[j])
# Lagrange polinomu hesaplanır.
yTekDeger = yTekDeger + yVeri[i]* pt
# =================
return yTekDeger
# Veri seti oluştur
veri= np.array([
[1,1],
[2,3],
[3,2],
[4,4],
[5,3],
[6,5],
[7,4],
[8,7],
[9,6],
[10,8],
[11,7],
[12,9]
])
# Ara x değerlerini oluştur
xYeni= np.arange(veri[0,0],
veri[-1,0]+0.1,
0.1)
yYeni= np.zeros(len(xYeni))
for it in range(len(xYeni)):
yYeni[it]= lagrange_interpolasyon_tekAraDeger(veri[:,0],veri[:,1],xYeni[it])
# Çizdir
plt.close('all')
plt.plot(veri[:,0],veri[:,1],'o', label='veri', color='blue')
plt.plot(xYeni,yYeni, label='Lagrange', color='red')
plt.legend()
plt.show()
Yukarıda verilen Lagrange İnterpolasyon Python kodunu tek bir xAraTekDeger değer için değil xAraDizi için de çalışacak şekilde değiştiriniz.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Lagrange Interpolasyonu
def lagrange_interpolasyon_dizi(xVeri, yVeri, xAraDizi):
'''
Lagrange polinomu ile verilen noktalardan geçen polinom hesaplanır.
'''
# Verilen xVeri datasının boyutu tutulur.
n = int(len(xVeri))
# İstenilen xAraDizi datasının boyutu tutulur.
nAra= int(len(xAraDizi))
# =================
# Lagrange polinomu hesaplanır.
yDizi = np.zeros(nAra)
for it in range(nAra):
yGecici = 0.0
for i in range(n):
pt = 1.0
# Kardinal fonksiyonu hesaplanır.
for j in range(n):
if i != j:
pt= pt* (xAraDizi[it]- xVeri[j])/(xVeri[i]- xVeri[j])
# Lagrange polinomu hesaplanır.
yGecici = yGecici + yVeri[i]* pt
yDizi[it]= yGecici
# =================
return yDizi
# Veri seti oluştur
veri= np.array([
[1,1],
[2,3],
[3,2],
[4,4],
[5,3],
[6,5],
[7,4],
[8,7],
[9,15],
[10,8],
[11,7],
[12,9]
])
xVeri= np.arange(0, 11, 1)
yVeri= np.arange(0, 11, 1)+ np.random.rand(len(np.arange(0, 11, 1)))*0.8
veri=np.zeros((len(xVeri),2))
veri[:,0]=xVeri
veri[:,1]=yVeri
# Ara x değerlerini oluştur
xYeni= np.arange(veri[0,0],
veri[-1,0]+0.1,
0.1)
yYeni= lagrange_interpolasyon_dizi(veri[:,0],veri[:,1],xYeni)
# Çizdir
plt.close('all')
plt.plot(veri[:,0],veri[:,1],'o', label='veri', color='blue')
plt.plot(xYeni, yYeni, label='Lagrange', color='red')
plt.legend()
plt.show()
scipy kütüphanesinin içerisindeki interpolate alt modülü içinde lagrange fonksiyonu bulunur. Bu fonksiyonu kullanarak Lagrange interpolasyonu yapın. Aynı interpolate alt modülü içerisinde tek doğrusal interpolasyon için interp1d fonksiyonu bulunur. Bu fonksiyonu da kullanarak tek doğrusal interpolasyon yapın.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.interpolate as spInterp
veri = np.array([[0, 0],
[1, 1],
[2, 4],
[3, 9],
[4, 16],
[5, 25],
[6, 36],
[7, 45],
[8, 68],
[9, 80],
[10, 90]])
# Scipy ile interpolasyon
lagrange_fonk_sp= spInterp.lagrange(veri[:,0], veri[:,1])
xYeni= np.arange(veri[0,0], veri[-1,0]+0.1, 0.1)
yYeniLagrangeInterpolasyon= lagrange_fonk_sp(xYeni)
# Çizdir
plt.close('all')
plt.plot(veri[:,0],veri[:,1],'o', label='veri', color='blue')
plt.plot(xYeni, yYeniLagrangeInterpolasyon, label='Lagrange', color='red')
# scipy kullanarak polynomial interpolasyon yapılır.
dogrusal_fonk= spInterp.interp1d(veri[:,0], veri[:,1])
yYeniDogrusalInterpolasyon= dogrusal_fonk(xYeni)
# Çizdir
plt.plot(xYeni, yYeniDogrusalInterpolasyon , 'g', linewidth=3, label='interp1d')
plt.legend()
plt.show()
Polinom formülü:
\[ P_{n}(x)= \sum_{i=0}^{n} a_{i} \prod_{j=0}^{i-1} (x-x_{j}) \]
Kendini tekrar eden formül:
\[ P_{k}(x)= a_{n-k}+ P_{k-1}(x)(x-x_{n-k}) \qquad \text{,} \quad k=1,2,\dots,n \qquad \text{ve} \quad P_{0}(x)= a_{n} \text{,} \]
Katsayılar:
\[ a_{n} \equiv \nabla^{n} y_{i} \equiv \frac{\nabla^{n-1} y_{i}-\nabla^{n-1} y_{n-1}}{x_{i}-x_{n-1}} \qquad \text{,} \quad i=n \]
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.interpolate as spInterp
# Newton Interpolasyonu
def newton_interpolasyon_dizi(xData, yData, xNewArray):
'''[https://pythonnumericalmethods.berkeley.edu/notebooks/chapter17.05-Newtons-Polynomial-Interpolation.html]
Newton polinomu ile verilen noktalardan geçen polinom hesaplanır.
'''
# Bölünmüş Fark (Divided Differences) hesaplayan fonksiyon.
def divided_diff(xData, yData):
'''
Function to calculate the divided differences table
'''
n = len(yData)
coef = np.zeros([n, n])
# the first column is y
coef[:,0] = yData
for j in range(1,n):
for i in range(n-j):
coef[i,j] = (coef[i+1,j-1] - coef[i,j-1]) / (xData[i+j]-xData[i])
return coef
# Verilen x değerlerinin bir eksiğinin boyutu tutulur.
n= len(xData)- 1
# =================
coef = divided_diff(xData, yData)[0, :]
# =================
# Newton polinomu hesaplanır.
yNewArray = coef[n]
for k in range(1,n+1):
yNewArray = coef[n-k] + (xNewArray -xData[n-k])* yNewArray
return yNewArray
veri = np.array([[0, 0],
[1, 1],
[2, 4],
[3, 9],
[4, 16],
[5, 25],
[6, 36],
[7, 45],
[8, 68],
[9, 80],
[10, 90]])
# Scipy ile interpolasyon
lagrange_fonk_sc= spInterp.lagrange(veri[:,0], veri[:,1])
xYeni= np.arange(veri[0,0], veri[-1,0]+0.1, 0.1)
yYeniLagrangeInterpolasyon= lagrange_fonk_sc(xYeni)
yYeniNewtonInterpolasyon= newton_interpolasyon_dizi(veri[:,0],veri[:,1],xYeni)
# Çizdir
plt.close('all')
plt.plot(veri[:,0],veri[:,1],'o', label='veri', color='blue')
plt.plot(xYeni, yYeniNewtonInterpolasyon, label='Newton', color='black', lw=4)
plt.plot(xYeni, yYeniLagrangeInterpolasyon, label='Lagrange', color='red')
# scipy kullanarak polynomial interpolasyon yapılır.
dogrusal_fonk= spInterp.interp1d(veri[:,0], veri[:,1])
yYeniDogrusalInterpolasyon= dogrusal_fonk(xYeni)
# Çizdir
plt.plot(xYeni, yYeniDogrusalInterpolasyon , 'g', linewidth=3, label='interp1d')
plt.legend()
plt.show()
En alttaki veriyi kullanarak - Kübik spline interpolasyonu yapın (scipy.interpolate.CubicSpline). - Doğrusal (1. derece) ve 4. derece en küçük kareler uydurması (fiting) yapın (numpy.polyfit). - Veriyi (nokta olacak şekilde), interpolasyonu ve uydurmaları (çizgi olacak şekilde) aynı grafikte çizdirin. Grafikte gözüken \(y\) eksenini \(-5\) ile \(5\) arasında sınırlayın grafiği gösterin. - İnterpolasyonu ve uydurumayı \(x=(0,6)\) arasındaki noktalar için yapın.
Veri:
| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | -1 | 1 | -2 | 2 | -6 |
\((x_{0}, y_{0}) = (0, 1)\), \((x_{1}, y_{1}) = (1, 1)\), \((x_{2}, y_{2}) = (3, 7)\) verisini kullanarak Lagrange polinomunu elde edin. Gerekli formüller:
\(P_{2}(x) = \sum_{i=0}^{2}y_{i}l_{i}(x)\)
\(l_{i}= \prod_{j=0,j\neq i}^{2}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}\)